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Letzte Änderung: 04.03.2016

Astronomische Formelsammlung

  1. Öffnungsverhältnis = f/

          Benötigt wird:
          Brennweite des Teleskops = F in mm
          Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm

          Rechnung:   f/ = F / d   Beispiel:   f/ = 1250mm / 254mm = f/4,92
  2. Vergrößerung = V

          Benötigt wird:
          Brennweite des Teleskops = F in mm
          Brennweite des Okulars = f in mm

          Rechnung:   V = F / f   Beispiel:   V = 1250mm / 18mm = 69,44fach
  3. Austrittspupille = Ap in mm

          Benötigt wird:
          Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
          Vergrößerung = V

          Rechnung:   Ap = d / V   Beispiel:   Ap = 254mm / 69,44fach = 3,66mm

          oder

          Brennweite des Okulars = f in mm
          Öffnungsverhältnis = f/

          Rechnung:   Ap = f / f/   Beispiel:   Ap = 18mm / 4,92 = 3,66mm
  4. Tatsächliches Gesichtsfeld des Okulars = TG in ° (Grad)

          Benötigt wird:
          Scheinbares Gesichtsfeld des Okulars = SG in ° (Grad)
          Vergrößerung = V

          Rechnung:   TG = SG / V   Beispiel:   TG = 82° / 69,44fach = 1,18°
  5. Wahres Gesichtsfeld eines Fernglases = WG in ° (Grad)

          Benötigt wird:
          Sehfeld des Fernglases in Meter auf 1000m = SF in m

          Auf 1000m Entfernung entsprechen 17,5m gleich 1°

          Rechnung:   WG = SF / 17,5m   Beispiel:   WG = 124m / 17,5m = 7,1°

          oder

          Benötigt wird:
          Scheinbares Gesichtsfeld des Fernglases = SG in ° (Grad)
          Vergrößerung = V

          Rechnung:   WG = SG / V   Beispiel:   WG = 49,7° / 7fach = 7,1°
  6. Auflösungsvermögen des Teleskops = A in " (Bogensekunden)

          Benötigt wird:
          13,8 Bogensekunden (nach Rayleigh)
          oder
          11,5 Bogensekunden (nach Sparrows)
          Objektivdurchmesser des Teleskops = d in cm

          Rechnung 1:   A = 13,8" / d   Beispiel:   A = 13,8" / 25,4cm = 0,54"
          Rechnung 2:   A = 11,5" / d   Beispiel:   A = 11,5" / 25,4cm = 0,45"
  7. Auflösungsvermögen einer Teleskop + CCD / CMOS Sensor Kombination = A in " (Bogensekunden)

          Benötigt wird:
          2 × arctan = ≈ 206
          Pixelgröße = Px in µm
          Brennweite des Teleskops = F in mm

          Rechnung:   A = (206 × Px)/F   Beispiel:   A = (206 × 3,75)/1250 = 0,62"
  8. Lichtsammelvermögen = X

          Benötigt wird:
          Fläche der Augenpupille = A Ap in mm²
          Fläche des Objektivs des Teleskops = A Ob in mm²

          Rechnung:   X = A Ob / A Ap   Beispiel   X = 50670mm² / 38,5mm² = 1316x

          oder

          Benötigt wird:
          Durchmesser der Augenpupille = d Ap in mm
          Durchmesser des Objektivs des Teleskops = d Ob in mm

          Rechnung:   X = (d Ob / d Ap)^2   Beispiel   X = (254mm / 7mm)^2 = 1316x
  9. Lichtausbeute = Lab

          Bei einem Newton System, Fangspiegelstreben werden vernachlässigt!

          Benötigt wird:
          Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
          Fangspiegeldurchmesser des Teleskops = df in mm
          Reflektionsgrad des Fangspiegels = Rgf
          Reflektionsgrad des Hauptspiegels = Rgh

          Rechnung:   Lab = (1-(df/d)^2)× Rgf × Rgh
          Beispiel:   Lab = (1-(74/254)^2)× 0,94 × 0,94 = 0,81


          Bei einem Refraktor.

          Benötigt wird:
          Anzahl der Linsen. Jede Linse hat zwei Flächen!
          Transmissionsgrad der Linsen = Tmg

          z.B. ein FH Refraktor (2 Linsen = 4 Flächen). Systeme mit mehr Linsen dementsprechend!

          Rechnung:   Lab = 1 × Tmg × Tmg × Tmg × Tmg
          Beispiel:   Lab = 1 × 0,94 × 0,94 × 0,94 × 0,94 = 0,78
  10. Fangspiegel Offset = Os

          Benötigt bei einem Newton System mit einem Öffnungsverhältnis von f/5 oder schneller.

          Benötigt wird:
          Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
          Fangspiegeldurchmesser des Teleskops = df in mm
          Brennweite des Teleskops = f in mm

          Rechnung:   Os = (d×df)/(4×f)  Beispiel:   Os = (254×74)/(4×1250) = 3,76mm

          Wegen der 45° Stellung des Fangspiegels muss dieser Wert noch mit 1,41 mal genommen werden.

          Rechnung:   Os45° = Os × 1,41  Beispiel:   Os45° = 3,76 × 1,41 = 5,3mm

          Die Formel ist ein Näherungswert aber völlig ausreichend genau.
  11. Fangspiegel Obstruktion (Abschattung) linear = Ol in %

          Benötigt wird:
          Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
          Fangspiegeldurchmesser des Teleskops = df in mm

          Rechnung:   Ol = df × 100 / d   Beispiel:   Ol = 74 × 100 / 254 = 29%

  12. effektive Teleskopöffnung / Lichtsammelvermögen = deff X in mm

          Benötigt wird:
          Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
          Fangspiegeldurchmesser des Teleskops = df in mm
          sgrt = Quadratwurzel
          ^2 = hoch 2

          Rechnung:   deff X = sqrt((d^2) - (df^2))   Beispiel:   deff X = sqrt((254^2) - (74^2)) = 243mm

  13. effektive Teleskopöffnung / Kontrastleistung = deff K in mm

          Benötigt wird:
          Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
          Fangspiegeldurchmesser des Teleskops = df in mm

          Rechnung:   deff K = d - df   Beispiel:   deff K = 254 - 74 = 180mm

  14. Visuelle Grenzgröße = VG in mag

          Benötigt wird:
          Objektivdurchmesser des Teleskops = d in cm
          Grenzgrösse für das Auge ohne Hilfsmittel = 6,5 mag
          Durchmesser der Austrittspupille = Ap in cm

          Rechnung:   VG = 6,5 + 5 × log(d / Ap)   Beispiel:   6,5mag + 5 × log(25,4cm / 0,7cm) = 14,3mag

          oder

          Benötigt wird:
          Lichtsammelvermögen = X
          Grenzgrösse für das Auge ohne Hilfsmittel = 6,5 mag

          Rechnung:   VG = 6,5 + (2,5 × log X)   Beispiel:   6,5 + (2,5 × log 1316) = 14,3mag

          Diese Formel ist nur ein Näherungswert und bedingt einen sehr guten Himmel mit 6,5mag.
          Bei Schlechteren Himmel einfach die Grenzmagnitude dementsprechend ändern!

          Werden alle Teleskope die man Testen will mit dieser Formel berechnet, können sie recht gut
          miteinander verglichen werden.

          Wer aber die Grenzgröße eines Teleskops genau berechnen will sollte die folgende Formel benutzen.
          Diese Formel wurde von Henk Feijth und Georg Comello entwickelt auf der Basis von über 100.000
          Beobachtungen die sie gemacht haben.

          Der Himmel ist ein Flächenobjekt und ein Stern ein Punktobjekt. Deshalb ist die Grenzgröße
          abhängig von der Vergrößerung und weiter noch von der Transparenz des Fernrohres.
          Die Transparenz ist abhängig von der Qualität der Spiegelschichten, Vergütungen und spektralen
          Eigenschaften aller Schichten und Materialien.
          Bei einem Obstruierten Spiegelsystem muss auch noch die Abschattung mit verrechnet werden.

          Wenn dieses alles in Betracht genommen wird ist de Grenzgröße eines Teleskops gleich:

          Mt = Mv - 2 + 2,5 × log (sqrt(D^2 - d^2) × V × T)

          In der Formel sind:

          Mt = Visuelle Grenzmagnitude des Teleskops
          Mv = Eigene visuelle Grenzmagnitude
          D = Öffnung des Teleskops
          d = Durchmesser der Abschattung im Teleskop
          V = Vergrößerung des Teleskops
          T = Transmission (100% = 1) des Gesamtsystems
          log = Logarithmus mit der Grundzahl 10
          sgrt = Quadratwurzel
          ^2 = hoch 2

          Hierbei sollte die Austrittspupille der Anordnung kleiner sein als die derzeitige eigene Augenpupille.

          Ein Beispiel:

          Newton mit 254mm Objektivöffnung und einer Abschattung durch den Fangspiegel von 74mm.
          Für die Spiegel wird ein Wert von 94% Transmission angenommen (2 × 94% =0,8836)
          und für das Okular (6 Linsen) 98% (6 × 98% = 0,8858).

          Rechnung:

          Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × log(sqrt(245^2 - 74^2) × 100 × 0,8836 × 0,8858)
          Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × log(sqrt(60025 - 5476) × 100 × 0,8836 × 0,8858)
          Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × log(sqrt(54549) × 100 × 0,8836 × 0,8858)
          Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × log(233,56 × 100 × 0,8836 × 0,8858)
          Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × log 18280,57
          Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × 4,26
          Mt = 5,5 - 2 + 10,65
          Mt = 14.15mag bei 100-facher Vergrößerung.

          Bei einer Vergrößerung von 50-fach wäre es 13,4mag.
          Bei einer Vergrößerung von 200-fach wäre es 14,9mag.

          Fazit:

          Wer es exakt wissen will sollte die genaue Formel benutzen, für eine schnelle Übersicht ist die
          einfache Formel ausreichend!

          Besonders möchte ich mich noch bei Harrie Rutten bedanken der mir die genaue Formel gezeigt
          und erklärt hat.
  15. Mindestvergrößerung = Vmin

          Benötigt wird:
          Eintrittspupille = Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
          Augenpupille = Durchmesser der Austrittspupille = Ap in mm

          Rechnung:   Vmin = d / Ap   Beispiel:   Vmin = 254mm / 6mm = 42,33fach

          Die Größe der Augenpupille verändert sich im lauf des Lebens. Durchschnittswerte hierfür sind:

          Lebensalter:   10   20   30   40   50   60   70   80   Jahre
          Augenpupille:   8     8     7     6     5     4    3     2,3     mm
  16. Maximalbrennweite des Okulars = fmax in mm:

          Benötigt wird:
          Brennweite des Teleskops = F in mm
          Mindestvergrößerung = Vmin

          Rechnung:   fmax = F / Vmin   Beispiel:   1250mm / 42,33fach = 29,53mm
  17. Maximalvergrößerung = Vmax

          Benötigt wird:
          Eintrittspupille = Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
          Augenpupille = Austrittspupille = Ap (kleinste) in mm

          Rechnung:   Vmax = d / Ap (kleinste)   Beispiel:   Vmax = 254mm / 1mm = 254fach

          Kleinste Augenpupille für DeepSky = 1mm
          Kleinste Augenpupille für Planeten = 0,8mm
          Kleinste Augenpupille für Doppelsterne = 0,5mm

          Bei höheren Vergrößerungen wird, vorausgesetzt guter Optischer Qualität und gutem Seeing,
          zB. das Planetenscheibchen größer dargestellt aber ohne mehr Details erkennen zu können!
  18. Minimalbrennweite des Okulars = fmin in mm:

          Benötigt wird:
          Brennweite des Teleskops = F in mm
          Maximalvergrößerung = Vmax

          Rechnung:   fmin = F / Vmax   Beispiel:   1250mm / 254fach = 4,92mm
  19. Vergrößerungsfaktor einer Barlowlinse = V

          Benötigt wird:
          Abstand der Barlowlinse von der Fokusebene (Chipebene) = a in mm
          Brennweite der Barlowlinse (ist immer Negativ) = f in mm

          Rechnung:   V= 1-(a/(f))   Beispiel:   1-(105/(-62,9)) = 2,67 fach
  20. Äquivalentbrennweite = fÄ in mm (Okularprojektion mit einer Digicam)

          Benötigt wird:
          Brennweite des Teleskops = F in mm
          Brennweite des Objektivs der Digicam = fC in mm
          Brennweite des Okulars = f in mm

          Rechnung:   fÄ= (F × fC) / f   Beispiel:   (1250mm × 28mm) / 40mm = 875mm
          Äquivalentbrennweite zum KB-Format:   (1250mm × 420mm) / 40mm = 13125mm

          oder mit 2,7× Barlow:

          Rechnung:   fÄ = ((F × 2) × fC) / f   Beispiel:   ((1250mm × 2,7fach) × 28mm) / 40mm = 2362,5mm
          Äquivalentbrennweite zum KB-Format:   ((1250mm × 2,7fach) × 234mm) / 420mm = 35437,5mm

          Meine Digicam hat eine Objektivbrennweite von 5 - 75mm das Entspricht laut Hersteller einer
          Äquivalentbrennweit zum KB-Format von 28 - 420mm.
          Die Werte anderer Digicams müssen entsprechend eingesetzt werden.
          Wenn die Barlow einen anderen Vergrößerungsfaktor hat dann diesen entsprechend einsetzen.
  21. Äquivalentbrennweite = fÄ in mm (Okularprojektion mit einer Kamera)

          Benötigt wird:
          Brennweite des Teleskops = F in mm
          Brennweite des Okulars = f in mm
          Abstand Okular zu Filmebene (Chipebene bei Digitalen Kameras) = a in mm

          Rechnung:   fÄ = (F × a) / f   Beispiel:   (1250mm × 40mm) / 10mm = 5000mm
  22. Äquivalentbrennweite = fÄ in mm (Fokalprojektion mit einer Kamera)

          Benötigt wird:
          Brennweite des Teleskops = F in mm

          Wenn das Bild im Kamerasucher Scharf ist dann ist der Brennpunkt des Teleskops auf der Filmebene
          (auf der Chipebene bei Digitalkameras) und so ist die Äquivalentbrennweite gleich der Teleskop-
          brennweite.
  23. Maximale Belichtungszeit = t in Sekunden (nicht Nachgeführt, ohne Strichspuren)

          Benötigt wird:
          Pixelgröße der Kamera = Px in mm (zB. Canon EOS600D 0,0043mm)
          Brennweite des Objektivs = fO in mm
          Deklination des Sterns = δ in rad (zB. 45° = 0,7854 rad)

          Rechnung:   t = (13713 × Px) / (fO × cos (δ))
          Beispiel 1:   t = (13713 × 0,0043) / (18 × cos(0,7854)) = 4,63 Sek
          Beispiel 2:   t = (13713 × 0,0043) / (250 × cos(0,7854)) = 0,33 Sek

          Tipp: Wenn man den Stern über zwei Pixel laufen lässt und das Ergebnis noch annehmbar ist,
          verdoppelt sich die Belichtungszeit.

  24. Pixelgröße = Px / Brennweite = F

          Theorie:
          Theoretisch trifft ein Stern idealerweise immer nur ein Pixel.

          Damit nun zwei Sterne sich auf dem CCD / CMOS - Chip trennen lassen muss immer ein Pixel
          dazwischen liegen.
          Käme jetzt wirklich nur ein Stern auf einem Pixel gäbe es auf dem Bild keinerlei Graustufen.
          Hierbei spricht man von Undersampling.
          Fällt das Licht hingegen auf mehrere Pixel wird der Stern verwaschen dargestellt.
          Dies nennt man Oversampling.
          Es gilt also ein Optimum zwischen einem Undersampling und einem Oversampling zu erreichen
          indem der Stern zB. zwei Pixel überstreicht.

          Benötigt wird:
          Brennweite des Teleskops = F in mm
          Pixelgröße der Kamera = Px in µm
          Auflösungsvermögen = A in ° (Grad)
          2 × arctan = ≈ 206

          Bei gegebener Brennweite für die Pixelgröße:

          Rechnung:   Px = F × (tan(A / 3600) × 1000) / 2
          Beispiel:   Px = 1250 × (tan(0,5 / 3600) × 1000) / 2 = 1,515µm

          Bei gegebener Pixelgröße für die Brennweite:

          Rechnung:   F = (2 × Px) /(tan(A / 3600) × 1000)
          Beispiel:   F = (2 × 3,75) / (tan(0,5 × 3600) × 1000) = 3093,97mm

          DeepSky:
          Bei der DeepSky Fotografie wird aus einer Punktförmigen Lichtquelle eine flächige Lichtquelle.
          Diese Ausdehnung der Sternscheibe wird als FWHM-Wert (Full Width Half Maximum) beschrieben
          und liegt erfahrungsgemäß bei 2" bis 5".

          Bei gegebener Brennweite für die Pixelgröße:

          Rechnung:   Px = F × (tan(FWHM / 3600) × 1000) / 2
          Beispiel:   Px = 1250 × (tan(3 / 3600) × 1000) / 2 = 9,09µm

          Bei gegebener Pixelgröße für die Brennweite:

          Rechnung:   F = (2 × Px) /(tan(FWHM / 3600) × 1000)
          Beispiel:   F = (2 × 3,75) / (tan(3 × 3600) × 1000) = 515,66mm

          Planeten:
          Bei der Planeten Fotografie kann mit dem theoretischen Auflösungsvermögen, wegen der sehr
          kurzen Belichtungszeit, gearbeitet werden.

          Faustformel:
          Für DeepSky Aufnahmen kann erfahrungsgemäß ein Abbildungsmaßstab von ca. 1,5" pro Pixel
          angenommen werden.

          Bei gegebener Brennweite für die Pixelgröße:

          Rechnung:   Px = (F × 1,5) / 206
          Beispiel:   Px = 1250 × 1,5) / 206 = 9,10µm

          Bei gegebener Pixelgröße für die Brennweite:

          Rechnung:   F = (Px × 206) / 1,5
          Beispiel:   F = (3,75 × 206) / 1,5 = 515mm
  25. Vergrößerung einer Fotografie = VF

          Ich werde oft gefragt wie hoch die Vergrößerung meiner Astro-Fotos den wäre.

          Bei einer Fotografie kann man eigentlich nicht von Vergrößerung sprechen, sondern von einem
          Abbildungsmaßstab denn wir vergleichen hier eine Projektion mit einer tatsächlichen optischen
          Vergrößerung durch eine bestimmte Optik.
          Ein Abbildungsmaßstab von 1:10 würde aussagen, dass der Gegenstand zehnmal größer ist wie
          seine Abbildung.
          Ein Beispiel aus der Astrofotografie:
          Der Mond hat einen Durchmesser von 3476km und wird mit einem Durchmesser von 30mm auf dem
          Kamerachip abgebildet.
          Das ergäbe einen Abbildungsmaßstab von 0,0000000086:1 oder 1:115866667.
          Unter diesen Abbildungsmaßstab kann man sich reichlich wenig vorstellen.
          Die Formel versucht nun, den Eindruck am Bildschirm mit dem im Okular zu vergleichen um so eine
          Vergrößerungsangabe zu erreichen. Sie geht davon aus, dass wir in kurzer Entfernung, zB. auf einem
          Blatt Papier, etwa 0,1mm voneinander trennen können und am Sternenhimmel ca. 2 Bogenminuten
          oder 120 Bogensekunden.

          Benötigt wird:
          Brennweite des Teleskops = F in mm
          Pixelgröße der Kamera = Px in µm
          Pi = 3,14

          Rechnung:   VF = (F × 2000 × tan(12 × Pi/129600)/Px)
          Beispiel:   VF = (1250 × 2000 × tan(12 × 3,14/129600)/3,75) = 194fach

          oder mit 2,7× Barlow:

          Beispiel:   VF = (3375 × 2000 × tan(12 × 3,14/129600)/3,75) = 524fach

          Die Formel ist "nur" eine Näherungsformel, aber trotzdem sehr gut geeignet um mal wenigstens eine
          Richtung zu bekommen.

          Vielen Dank an Klaus Hohmann für die Formel und die hilfreichen Erklärungen.

Tipp: Die gesuchte Formel mit den eigenen Werten in Google eingeben [Enter] und das Ergebnis wird angezeigt.

01.04.2007

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