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Letzte Änderung: 11.02.2021

Astronomische Formelsammlung

Öffnungsverhältnis = f/

Benötigt wird:
Brennweite des Teleskops = F in mm
Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm

Rechnung: f/ = F / d Beispiel: f/ = 1250mm / 254mm = f/4,92
Vergrößerung = V

Benötigt wird:
Brennweite des Teleskops = F in mm
Brennweite des Okulars = f in mm

Rechnung: V = F / f Beispiel: V = 1250mm / 18mm = 69,44fach
Austrittspupille = Ap in mm

Benötigt wird:
Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
Vergrößerung = V

Rechnung: Ap = d / V Beispiel: Ap = 254mm / 69,44fach = 3,66mm

oder

Brennweite des Okulars = f in mm
Öffnungsverhältnis = f/

Rechnung: Ap = f / f/ Beispiel: Ap = 18mm / 4,92 = 3,66mm
Tatsächliches Gesichtsfeld des Okulars = TG in ° (Grad)

Benötigt wird:
Scheinbares Gesichtsfeld des Okulars = SG in ° (Grad)
Vergrößerung = V

Rechnung: TG = SG / V Beispiel: TG = 82° / 69,44fach = 1,18°
Wahres Gesichtsfeld eines Fernglases = WG in ° (Grad)

Benötigt wird:
Sehfeld des Fernglases in Meter auf 1000m = SF in m

Auf 1000m Entfernung entsprechen 17,5m gleich 1°

Rechnung: WG = SF / 17,5m Beispiel: WG = 124m / 17,5m = 7,1°

oder

Benötigt wird:
Scheinbares Gesichtsfeld des Fernglases = SG in ° (Grad)
Vergrößerung = V

Rechnung: WG = SG / V Beispiel: WG = 49,7° / 7fach = 7,1°
Auflösungsvermögen des Teleskops = A in " (Bogensekunden)

Benötigt wird:
13,8 Bogensekunden (nach Rayleigh)
oder
11,5 Bogensekunden (nach Sparrows)
Objektivdurchmesser des Teleskops = d in cm

Rechnung 1: A = 13,8" / d Beispiel: A = 13,8" / 25,4cm = 0,54"
Rechnung 2: A = 11,5" / d Beispiel: A = 11,5" / 25,4cm = 0,45"
Auflösungsvermögen einer Teleskop + CCD / CMOS Sensor Kombination = A in " (Bogensekunden)

Benötigt wird:
2 × arctan = ≈ 206
Pixelgröße = Px in µm
Brennweite des Teleskops = F in mm

Rechnung: A = (206 × Px)/F Beispiel: A = (206 × 3,75)/1250 = 0,62"
Lichtsammelvermögen = X

Benötigt wird:
Fläche der Augenpupille = A Ap in mm²
Fläche des Objektivs des Teleskops = A Ob in mm²

Rechnung: X = A Ob / A Ap Beispiel X = 50670mm² / 38,5mm² = 1316x

oder

Benötigt wird:
Durchmesser der Augenpupille = d Ap in mm
Durchmesser des Objektivs des Teleskops = d Ob in mm

Rechnung: X = (d Ob / d Ap)^2 Beispiel X = (254mm / 7mm)^2 = 1316x
Lichtausbeute = Lab

Bei einem Newton System, Fangspiegelstreben werden vernachlässigt!

Benötigt wird:
Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
Fangspiegeldurchmesser des Teleskops = df in mm
Reflektionsgrad des Fangspiegels = Rgf
Reflektionsgrad des Hauptspiegels = Rgh

Rechnung: Lab = (1-(df/d)^2)× Rgf × Rgh
Beispiel: Lab = (1-(74/254)^2)× 0,94 × 0,94 = 0,81

Bei einem Refraktor.

Benötigt wird:
Anzahl der Linsen. Jede Linse hat zwei Flächen!
Transmissionsgrad der Linsen = Tmg

z.B. ein FH Refraktor (2 Linsen = 4 Flächen). Systeme mit mehr Linsen dementsprechend!

Rechnung: Lab = 1 × Tmg × Tmg × Tmg × Tmg
Beispiel: Lab = 1 × 0,94 × 0,94 × 0,94 × 0,94 = 0,78
Fangspiegel Offset = Os

Benötigt bei einem Newton System mit einem Öffnungsverhältnis von f/5 oder schneller.

Benötigt wird:
Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
Fangspiegeldurchmesser des Teleskops = df in mm
Brennweite des Teleskops = f in mm

Rechnung: Os = (d×df)/(4×f) Beispiel: Os = (254×74)/(4×1250) = 3,76mm

Wegen der 45° Stellung des Fangspiegels muss dieser Wert noch mit 1,41 mal genommen werden.

Rechnung: Os45° = Os × 1,41 Beispiel: Os45° = 3,76 × 1,41 = 5,3mm

Die Formel ist ein Näherungswert aber völlig ausreichend genau.
Fangspiegel Obstruktion (Abschattung) linear = Ol in %

Benötigt wird:
Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
Fangspiegeldurchmesser des Teleskops = df in mm

Rechnung: Ol = df × 100 / d Beispiel: Ol = 74 × 100 / 254 = 29%
effektive Teleskopöffnung / Lichtsammelvermögen = deff X in mm

Benötigt wird:
Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
Fangspiegeldurchmesser des Teleskops = df in mm
sgrt = Quadratwurzel
^2 = hoch 2

Rechnung: deff X = sqrt((d^2) - (df^2)) Beispiel: deff X = sqrt((254^2) - (74^2)) = 243mm
effektive Teleskopöffnung / Kontrastleistung = deff K in mm

Benötigt wird:
Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
Fangspiegeldurchmesser des Teleskops = df in mm

Rechnung: deff K = d - df Beispiel: deff K = 254 - 74 = 180mm
Visuelle Grenzgröße = VG in mag

Benötigt wird:
Objektivdurchmesser des Teleskops = d in cm
Grenzgrösse für das Auge ohne Hilfsmittel = 6,5 mag
Durchmesser der Austrittspupille = Ap in cm

Rechnung: VG = 6,5 + 5 × log(d / Ap) Beispiel: 6,5mag + 5 × log(25,4cm / 0,7cm) = 14,3mag

oder

Benötigt wird:
Lichtsammelvermögen = X
Grenzgrösse für das Auge ohne Hilfsmittel = 6,5 mag

Rechnung: VG = 6,5 + (2,5 × log X) Beispiel: 6,5 + (2,5 × log 1316) = 14,3mag

Diese Formel ist nur ein Näherungswert und bedingt einen sehr guten Himmel mit 6,5mag.
Bei Schlechteren Himmel einfach die Grenzmagnitude dementsprechend ändern!

Werden alle Teleskope die man Testen will mit dieser Formel berechnet, können sie recht gut
miteinander verglichen werden.

Wer aber die Grenzgröße eines Teleskops genau berechnen will sollte die folgende Formel benutzen.
Diese Formel wurde von Henk Feijth und Georg Comello entwickelt auf der Basis von über 100.000
Beobachtungen die sie gemacht haben.

Der Himmel ist ein Flächenobjekt und ein Stern ein Punktobjekt. Deshalb ist die Grenzgröße
abhängig von der Vergrößerung und weiter noch von der Transparenz des Fernrohres.
Die Transparenz ist abhängig von der Qualität der Spiegelschichten, Vergütungen und spektralen
Eigenschaften aller Schichten und Materialien.
Bei einem Obstruierten Spiegelsystem muss auch noch die Abschattung mit verrechnet werden.

Wenn dieses alles in Betracht genommen wird ist de Grenzgröße eines Teleskops gleich:

Mt = Mv - 2 + 2,5 × log (sqrt(D^2 - d^2) × V × T)

In der Formel sind:

Mt = Visuelle Grenzmagnitude des Teleskops
Mv = Eigene visuelle Grenzmagnitude
D = Öffnung des Teleskops
d = Durchmesser der Abschattung im Teleskop
V = Vergrößerung des Teleskops
T = Transmission (100% = 1) des Gesamtsystems
log = Logarithmus mit der Grundzahl 10
sgrt = Quadratwurzel
^2 = hoch 2

Hierbei sollte die Austrittspupille der Anordnung kleiner sein als die derzeitige eigene Augenpupille.

Ein Beispiel:

Newton mit 254mm Objektivöffnung und einer Abschattung durch den Fangspiegel von 74mm.
Für die Spiegel wird ein Wert von 94% Transmission angenommen (2 × 94% =0,8836)
und für das Okular (6 Linsen) 98% (6 × 98% = 0,8858).

Rechnung:

Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × log(sqrt(245^2 - 74^2) × 100 × 0,8836 × 0,8858)
Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × log(sqrt(60025 - 5476) × 100 × 0,8836 × 0,8858)
Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × log(sqrt(54549) × 100 × 0,8836 × 0,8858)
Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × log(233,56 × 100 × 0,8836 × 0,8858)
Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × log 18280,57
Mt = 5,5 - 2 + 2,5 × 4,26
Mt = 5,5 - 2 + 10,65
Mt = 14.15mag bei 100-facher Vergrößerung.

Bei einer Vergrößerung von 50-fach wäre es 13,4mag.
Bei einer Vergrößerung von 200-fach wäre es 14,9mag.

Fazit:

Wer es exakt wissen will sollte die genaue Formel benutzen, für eine schnelle Übersicht ist die
einfache Formel ausreichend!

Besonders möchte ich mich noch bei Harrie Rutten bedanken der mir die genaue Formel gezeigt
und erklärt hat.
Mindestvergrößerung = Vmin

Benötigt wird:
Eintrittspupille = Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
Augenpupille = Durchmesser der Austrittspupille = Ap in mm

Rechnung: Vmin = d / Ap Beispiel: Vmin = 254mm / 6mm = 42,33fach

Die Größe der Augenpupille verändert sich im lauf des Lebens. Durchschnittswerte hierfür sind:

Lebensalter: 10 20 30 40 50 60 70 80 Jahre
Augenpupille: 8 8 7 6 5 4 3 2,3 mm
Maximalbrennweite des Okulars = fmax in mm:

Benötigt wird:
Brennweite des Teleskops = F in mm
Mindestvergrößerung = Vmin

Rechnung: fmax = F / Vmin Beispiel: 1250mm / 42,33fach = 29,53mm
Maximalvergrößerung = Vmax

Benötigt wird:
Eintrittspupille = Objektivdurchmesser des Teleskops = d in mm
Augenpupille = Austrittspupille = Ap (kleinste) in mm

Rechnung: Vmax = d / Ap (kleinste) Beispiel: Vmax = 254mm / 1mm = 254fach

Kleinste Augenpupille für DeepSky = 1mm
Kleinste Augenpupille für Planeten = 0,8mm
Kleinste Augenpupille für Doppelsterne = 0,5mm

Bei höheren Vergrößerungen wird, vorausgesetzt guter Optischer Qualität und gutem Seeing,
zB. das Planetenscheibchen größer dargestellt aber ohne mehr Details erkennen zu können!
Minimalbrennweite des Okulars = fmin in mm:

Benötigt wird:
Brennweite des Teleskops = F in mm
Maximalvergrößerung = Vmax

Rechnung: fmin = F / Vmax Beispiel: 1250mm / 254fach = 4,92mm
Vergrößerungsfaktor einer Barlowlinse = V

Benötigt wird:
Abstand der Barlowlinse von der Fokusebene (Chipebene) = a in mm
Brennweite der Barlowlinse (ist immer Negativ) = f in mm

Rechnung: V= 1-(a/(f)) Beispiel: 1-(105/(-62,9)) = 2,67 fach
Länge der Taukappe ohne Vignettierung = L in mm

Benötigt wird:
Durchmesser der Taukappe = D in mm
Durchmesser des Objektivs = d in mm
Bildwinkel = alpha in Grad (Okular - tatsächliches Gesichtsfeld, Kamera - Chipbreite)

Rechnung: L= (D/2 - d/2) / tan alpha/2 Beispiel: L= (90/2 - 80/2) / tan 2,56/2 = 223,81mm

Mein Spiegelobjektiv hat eine Brennweite von 500mm und einen Spiegeldurchmesser von 80mm.
Der Außendurchmesser des Objektivs beträgt 90mm.
Meine DSLR hat einen ABS-C Sensor mit einer Größe von 22,3mm x 14,9mm das sind bei 500mm
Brennweite 2,56° x 1,71°. Der Tangens Alpha/2 aus 2,56° beträgt 0,02234.

Bei einem Newton Teleskop oder einem Spiegelobjektiv beginnt die Taukappe direkt über dem Spiegel.
Bei einem Refraktor Teleskop oder einem Linsenobjektiv ab dem Linsen.

Bei meinem Spiegelobjektiv beträgt die Gehäuselänge über dem Spiegel 90mm.
Die berechnete Länge für die Taukappe ohne Vignettierung ist 223,81mm = Rund 224mm.
Das heißt dass die Taukappe noch 134mm über dem Rand des Objektivs überstehen darf.
Die Faustformel zum Errechnen der Taukappenlänge ist Dx1,5.
In diesem Fall wäre das 90x1,5 = 135mm und kommt somit dem genauen Ergebnis sehr nahe.
Äquivalentbrennweite = fÄ in mm (Okularprojektion mit einer Digicam)

Benötigt wird:
Brennweite des Teleskops = F in mm
Brennweite des Objektivs der Digicam = fC in mm
Brennweite des Okulars = f in mm

Rechnung: fÄ= (F × fC) / f Beispiel: (1250mm × 28mm) / 40mm = 875mm
Äquivalentbrennweite zum KB-Format: (1250mm × 420mm) / 40mm = 13125mm

oder mit 2,7× Barlow:

Rechnung: fÄ = ((F × 2) × fC) / f Beispiel: ((1250mm × 2,7fach) × 28mm) / 40mm = 2362,5mm
Äquivalentbrennweite zum KB-Format: ((1250mm × 2,7fach) × 234mm) / 420mm = 35437,5mm

Meine Digicam hat eine Objektivbrennweite von 5 - 75mm das Entspricht laut Hersteller einer
Äquivalentbrennweit zum KB-Format von 28 - 420mm.
Die Werte anderer Digicams müssen entsprechend eingesetzt werden.
Wenn die Barlow einen anderen Vergrößerungsfaktor hat dann diesen entsprechend einsetzen.
Äquivalentbrennweite = fÄ in mm (Okularprojektion mit einer Kamera)

Benötigt wird:
Brennweite des Teleskops = F in mm
Brennweite des Okulars = f in mm
Abstand Okular zu Filmebene (Chipebene bei Digitalen Kameras) = a in mm

Rechnung: fÄ = (F × a) / f Beispiel: (1250mm × 40mm) / 10mm = 5000mm
Äquivalentbrennweite = fÄ in mm (Fokalprojektion mit einer Kamera)

Benötigt wird:
Brennweite des Teleskops = F in mm

Wenn das Bild im Kamerasucher Scharf ist dann ist der Brennpunkt des Teleskops auf der Filmebene
(auf der Chipebene bei Digitalkameras) und so ist die Äquivalentbrennweite gleich der Teleskop-
brennweite.
Maximale Belichtungszeit = t in Sekunden (nicht Nachgeführt, ohne Strichspuren)

Benötigt wird:
Pixelgröße der Kamera = Px in mm (zB. Canon EOS600D 0,0043mm)
Brennweite des Objektivs = fO in mm
Deklination des Sterns = δ in rad (zB. 45° = 0,7854 rad)

Rechnung: t = (13713 × Px) / (fO × cos (δ))
Beispiel 1: t = (13713 × 0,0043) / (18 × cos(0,7854)) = 4,63 Sek
Beispiel 2: t = (13713 × 0,0043) / (250 × cos(0,7854)) = 0,33 Sek

Tipp: Wenn man den Stern über zwei Pixel laufen lässt und das Ergebnis noch annehmbar ist,
verdoppelt sich die Belichtungszeit.
Pixelgröße = Px / Brennweite = F

Theorie:
Theoretisch trifft ein Stern idealerweise immer nur ein Pixel.

Damit nun zwei Sterne sich auf dem CCD / CMOS - Chip trennen lassen muss immer ein Pixel
dazwischen liegen.
Käme jetzt wirklich nur ein Stern auf einem Pixel gäbe es auf dem Bild keinerlei Graustufen.
Hierbei spricht man von Undersampling.
Fällt das Licht hingegen auf mehrere Pixel wird der Stern verwaschen dargestellt.
Dies nennt man Oversampling.
Es gilt also ein Optimum zwischen einem Undersampling und einem Oversampling zu erreichen
indem der Stern zB. zwei Pixel überstreicht.

Benötigt wird:
Brennweite des Teleskops = F in mm
Pixelgröße der Kamera = Px in µm
Auflösungsvermögen = A in ° (Grad)
2 × arctan = ≈ 206

Bei gegebener Brennweite für die Pixelgröße:

Rechnung: Px = F × (tan(A / 3600) × 1000) / 2
Beispiel: Px = 1250 × (tan(0,5 / 3600) × 1000) / 2 = 1,515µm

Bei gegebener Pixelgröße für die Brennweite:

Rechnung: F = (2 × Px) /(tan(A / 3600) × 1000)
Beispiel: F = (2 × 3,75) / (tan(0,5 × 3600) × 1000) = 3093,97mm

DeepSky:
Bei der DeepSky Fotografie wird aus einer Punktförmigen Lichtquelle eine flächige Lichtquelle.
Diese Ausdehnung der Sternscheibe wird als FWHM-Wert (Full Width Half Maximum) beschrieben
und liegt erfahrungsgemäß bei 2" bis 5".

Bei gegebener Brennweite für die Pixelgröße:

Rechnung: Px = F × (tan(FWHM / 3600) × 1000) / 2
Beispiel: Px = 1250 × (tan(3 / 3600) × 1000) / 2 = 9,09µm

Bei gegebener Pixelgröße für die Brennweite:

Rechnung: F = (2 × Px) /(tan(FWHM / 3600) × 1000)
Beispiel: F = (2 × 3,75) / (tan(3 × 3600) × 1000) = 515,66mm

Planeten:
Bei der Planeten Fotografie kann mit dem theoretischen Auflösungsvermögen, wegen der sehr
kurzen Belichtungszeit, gearbeitet werden.

Faustformel:
Für DeepSky Aufnahmen kann erfahrungsgemäß ein Abbildungsmaßstab von ca. 1,5" pro Pixel
angenommen werden.

Bei gegebener Brennweite für die Pixelgröße:

Rechnung: Px = (F × 1,5) / 206
Beispiel: Px = 1250 × 1,5) / 206 = 9,10µm

Bei gegebener Pixelgröße für die Brennweite:

Rechnung: F = (Px × 206) / 1,5
Beispiel: F = (3,75 × 206) / 1,5 = 515mm
Vergrößerung einer Fotografie = VF

Ich werde oft gefragt wie hoch die Vergrößerung meiner Astro-Fotos den wäre.

Bei einer Fotografie kann man eigentlich nicht von Vergrößerung sprechen, sondern von einem
Abbildungsmaßstab denn wir vergleichen hier eine Projektion mit einer tatsächlichen optischen
Vergrößerung durch eine bestimmte Optik.
Ein Abbildungsmaßstab von 1:10 würde aussagen, dass der Gegenstand zehnmal größer ist wie
seine Abbildung.
Ein Beispiel aus der Astrofotografie:
Der Mond hat einen Durchmesser von 3476km und wird mit einem Durchmesser von 30mm auf dem
Kamerachip abgebildet.
Das ergäbe einen Abbildungsmaßstab von 0,0000000086:1 oder 1:115866667.
Unter diesen Abbildungsmaßstab kann man sich reichlich wenig vorstellen.
Die Formel versucht nun, den Eindruck am Bildschirm mit dem im Okular zu vergleichen um so eine
Vergrößerungsangabe zu erreichen. Sie geht davon aus, dass wir in kurzer Entfernung, zB. auf einem
Blatt Papier, etwa 0,1mm voneinander trennen können und am Sternenhimmel ca. 2 Bogenminuten
oder 120 Bogensekunden.

Benötigt wird:
Brennweite des Teleskops = F in mm
Pixelgröße der Kamera = Px in µm
Pi = 3,14

Rechnung: VF = (F × 2000 × tan(12 × Pi/129600)/Px)
Beispiel: VF = (1250 × 2000 × tan(12 × 3,14/129600)/3,75) = 194fach

oder mit 2,7× Barlow:

Beispiel: VF = (3375 × 2000 × tan(12 × 3,14/129600)/3,75) = 524fach

Die Formel ist "nur" eine Näherungsformel, aber trotzdem sehr gut geeignet um mal wenigstens eine
Richtung zu bekommen.

Vielen Dank an Klaus Hohmann für die Formel und die hilfreichen Erklärungen.

Tipp: Die gesuchte Formel mit den eigenen Werten in Google eingeben [Enter] und das Ergebnis wird angezeigt.

01.04.2007

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